Luyện tập Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu Oxyz lớp 12

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng 2x-3y+z-5=0 có một vectơ pháp tuyến là vectơ nào (xem hình)? (có hình minh hoạ)

1. \vec{n}=(2;3;1)
2. \vec{n}=(2;-3;1)
3. \vec{n}=(-3;1;-5)
4. \vec{n}=(2;-3;5)

Đáp án: B. Mặt phẳng Ax+By+Cz+D=0 nhận \vec{n}=(A;B;C) làm vectơ pháp tuyến. Ở đây A=2,\ B=-3,\ C=1 nên \vec{n}=(2;-3;1). Hệ số tự do D=-5 không tham gia vào vectơ pháp tuyến.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm M(1;2;3) và có vectơ chỉ phương \vec{u}=(2;-1;4) (xem hình). Phương trình tham số của d là? (có hình minh hoạ)

1. x=1+2t,\ y=2-t,\ z=3+4t
2. x=2+t,\ y=-1+2t,\ z=4+3t
3. x=1+2t,\ y=2+t,\ z=3+4t
4. x=1-2t,\ y=2-t,\ z=3-4t

Đáp án: A. Phương trình tham số của đường thẳng qua M(x_0;y_0;z_0) với chỉ phương \vec{u}=(a;b;c) là x=x_0+at,\ y=y_0+bt,\ z=z_0+ct. Thay số: x=1+2t,\ y=2-t,\ z=3+4t. Đáp án thứ hai sai vì lấy nhầm tọa độ điểm và vectơ chỉ phương.

Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9 có tâm và bán kính là (xem hình)? (có hình minh hoạ)

1. Tâm I(-1;-2;-3), R=3
2. Tâm I(1;2;3), R=9
3. Tâm I(-1;-2;-3), R=9
4. Tâm I(1;2;3), R=3

Đáp án: D. Mặt cầu dạng (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2 có tâm I(a;b;c) và bán kính R. Ở đây a=1,b=2,c=3 và R^2=9 nên R=3. Tâm là I(1;2;3), không đổi dấu.